Nghiệm Schwarzchild: miêu tả không thời gian tĩnh có tính đối xứng cầu, bên ngoài bán kính Schwarzchild. Nó là nghiệm của phương trình chân không với tenxơ ứng suất–năng lượng T μ ν = 0 {\displaystyle T_{\mu \nu }{}=0}

Trong hệ tọa độ cầu x μ → ( c t , r , θ , ϕ ) {\displaystyle x^{\mu }\rightarrow (ct,r,\theta ,\phi )\,} sử dụng dấu mêtric (+,- ,- ,- ), mêtric Schwarzchild là [4]

d s 2 = c 2 d τ 2 = ( 1 − r s r ) c 2 d t 2 − ( 1 − r s r ) − 1 d r 2 − r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2 ) , {\displaystyle ds^{2}=c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),} với

1. τ là thời gian riêng (đo bởi đồng hồ gắn cùng với hạt thử di chuyển trên tuyến thế giới kiểu thời gian)
2. t là tọa độ thời gian (đo bởi một đồng hồ đứng yên nằm rất xa so với nguồn hấp dẫn),
3. r là tọa độ xuyên tâm (đo bằng chu vi đường tròn chia cho 2π, các đường tròn nằm trên mặt cầu có tâm tại nguồn hấp dẫn),
4. θ là độ dư vĩ (tính từ cực bắc, đơn vị radian),
5. φ là kinh độ (radian), và
6. rs là bán kính Schwarzschild của nguồn hấp dẫn, nó là hệ số tỷ lệ liên hệ với khối lượng M của "nguồn hấp dẫn không có điện tích và không quay" và rs = 2GM/c2.[5]

hay dạng ma trận của mêtric

g μ ν = [ ( 1 − 2 G M c 2 r ) 0 0 0 0 − ( 1 − 2 G M c 2 r ) − 1 0 0 0 0 − r 2 0 0 0 0 − r 2 sin 2 ⁡ θ ] .   {\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.\ }

Khi hạt thử nằm rất xa nguồn hấp dẫn r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } hoặc khi không có nguồn hấp dẫn M = 0 {\displaystyle M=0} thì mêtric Schwarzschild g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} trở thành mêtric Minkowski η μ ν {\displaystyle \eta _{\mu \nu }} sau khi chuyển từ tọa độ cầu sang tọa độ (ct, x, y, z) trong thuyết tương đối hẹp.

Tỷ số rs/r là rất nhỏ, đối với Mặt Trời có bán kính Schwarzschild xấp xỉ 3 km, trong khi nó có bán kính gần 700.000 km. Tỷ số này sẽ tương đối lớn đối với lỗ đen và sao neutron.